Equazione di stato (cosmologia)

In cosmologia, l'equazione di stato di un fluido perfetto individua un numero adimensionale $w$ dato dal rapporto fra la sua pressione $p$ e la sua densità energetica $\rho$:

$w\equiv {\frac {p}{\rho }}$ .

Essa è strettamente legata all'equazione di stato della termodinamica e all'equazione di stato dei gas perfetti.

Equazione

L'equazione di stato dei gas perfetti può essere scritta come

$p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}$

dove $\rho _{m}$ è la densità di massa, $R$ è la costante dei gas, $T$ è la temperatura e $C$ è la velocità termica delle molecole ($C={\sqrt {RT}}$). Si sostituisce

$w\equiv {\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0$

dove $c$ è la velocità della luce, $\rho =\rho _{m}c^{2}$ e $C\ll c$ per un gas "freddo".

Equazioni FLRW e l'equazione di stato

L'equazione di stato può essere usata nelle equazioni di Friedmann per descrivere l'evoluzione di un universo isotropico riempito con un fluido perfetto. Se $a$ è il fattore di scala allora

$\rho \propto a^{-3(1+w)}.$

Se il fluido è la forma dominante di materia in un universo piatto allora

$a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},$

dove $t$ è il tempo proprio.

In generale, l'equazione di accelerazione di Friedmann è

$3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)$

dove $\Lambda$ è la costante cosmologica e $G$ è la costante di Newton e ${\ddot {a}}$ è la derivata seconda rispetto al tempo proprio del fattore di scala.

Se si definisce (ciò che potrebbe essere chiamato "efficace") la densità di energia e la pressione come

$\rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$

$p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}$

e

$p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }$

l'equazione dell'accelerazione può essere scritta come

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }$

Particelle non relativistiche

L'equazione di stato per la materia ordinaria non relativistica (es. polvere fredda) è $w=0$, il che significa che la sua densità di energia diminuisce di $\rho \propto a^{-3}=V^{-1}$, dove $V$ è un volume. In un universo in espansione, l'energia totale della materia non relativistica rimane costante, con la sua densità che diminuisce all'aumentare del volume.

Particelle ultra-relativistiche

L'equazione di stato per la "radiazione" ultra-relativistica (compresi i neutrini e, nell'universo primordiale, altre particelle che in seguito sono diventate non relativistiche) è $w=1/3$ il che significa che la sua densità di energia diminuisce di $\rho \propto a^{-4}$ . In un universo in espansione, la densità di energia della radiazione diminuisce più rapidamente dell'espansione del volume, poiché la sua lunghezza d'onda subisce il redshift gravitazionale .

Accelerazione dell'inflazione cosmica

L'inflazione cosmica e l'espansione accelerata dell'universo possono essere caratterizzate dall'equazione dello stato dell'energia oscura . Nel caso più semplice, l'equazione di stato della costante cosmologica è $w=-1$ . In questo caso, l'espressione sopra per il fattore di scala non vale e bisogna scriverla così: $a\propto e^{Ht}$, dove la costante H è la costante di Hubble . Più in generale, l'espansione dell'universo sta accelerando per qualsiasi equazione di stato dove $w<-1/3$ . L'espansione accelerata dell'Universo fu effettivamente osservata. In accordo con le osservazioni, il valore dell'equazione dello stato della costante cosmologica è vicino a -1.

L'ipotetica energia fantasma avrebbe un'equazione di stato $w<-1$ e causerebbe il cosiddetto Big Rip (o Grande Strappo). Tuttavia i dati attuali ci portano a pensare che $-1\leq \omega \leq -1/3$.

Fluidi

In un universo in espansione, i fluidi con $\omega$ più grandi scompaiono più rapidamente di quelli con $\omega$ più piccole. Questa è l'origine del problema della piattezza e dei problemi dei monopoli magnetici: la curvatura ha $w=-1/3$ e monopoli magnetici hanno $w=0$, quindi se fossero stati presenti al tempo del Big Bang, dovrebbero essere visibili tutt'oggi. Questi problemi sono risolti dall'inflazione cosmica che ha $w\approx -1$ . Misurare l'equazione dello stato dell'energia oscura è uno dei maggiori sforzi della cosmologia osservativa. Misurando accuratamente $w$, si spera che la costante cosmologica possa essere distinta dalla quintessenza, che ha $w\neq -1$ .

Modellazione scalare

Un campo scalare $\phi$ può essere visto come una sorta di fluido perfetto con equazione di stato

${w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}$

dove ${\dot {\phi }}$ è la derivata temporale di $\phi$ e $V(\phi )$ è l'energia potenziale. Un campo scalare libero ($V=0$) ha $w=1$ e uno con l'energia cinetica che svanisce equivale a una costante cosmologica: $w=-1$ . Qualsiasi equazione di stato nel mezzo (ma non oltre il $w=-1$, la barriera nota come Phantom Divide Line (PDL), è realizzabile, il che rende i campi scalari utili modelli per molti fenomeni della cosmologia.